Question

如圖，在直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，以OB為直徑的⊙C與AB交于點D，DE與⊙C相切交x軸于點E，且 OA=12

3

cm，∠OAB=30°．
（1）求點B的坐標及直線AB的解析式；
（2）過點B作BG⊥EC于F，交x軸于點G，求BD的長及點F的坐標；
（3）設點P從點A開始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度勻速向點G移動，點Q同時從點A開始沿AG勻速向點G移動，當四邊形CBPQ為平行四邊形時，求點Q的移動速度．

Answer 1

分析：（1）根據OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，可得AB=2OB，求出AO的長，進而求出直線AB的解析式即可；
（2）利用切線的性質定理以及勾股定理得出EO的長，進而求出FM，MO的長即可；
（3）根據當點P運動到AB中點，點Q運動到AO中點時，PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形，點Q與點E重合，以及 當點P運動到BG中點，點Q運動到OG中點時，分別得出答案．

解答：解：（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
∵OA=12

3

，
∴A （12

3

，0）．
可設直線AB的解析式為：y=ax+b，
∴

b=12 12 3 a+b=0

，
∴

a=- 3 3 b=12

，
∴可得直線AB的解析式為：y=-

3

3

x+12．

（2）連接CD，過F作FM⊥x軸于點M，則CB=CD．
∵∠OBA=90°-∠A=60°，
∴△CBD是等邊三角形．
∴BD=CB=

1

2

OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直徑，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°-∠COE-∠CDE-∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．
∴CE=12，CO=6．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=

CE2-CO2

=6

3

．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=

1

2

BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=

1

2

EF=

15

2

，ME=

3

FM=

15 3

2

．
∴MO=

15 3

2

-6

3

=

3 3

2

．
∴F（-

3 3

2

，

15

2

）．

（3）設點Q移動的速度為vcm/s．
（ⅰ）當點P運動到AB中點，點Q運動到AO中點時，PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形，點Q與點E重合．
可得AP=12，  t=

AP

4

=3．
∴v=

AE

t

=

6 3

3

=2

3

（cm/s）．
（ⅱ） 當點P運動到BG中點，點Q運動到OG中點時，
PQ∥BC，PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形．
可得OG=4

3

，BG=8

3

．從而PB=4

3

，OQ=2

3

．
∴t=

AB+BP

4

=

24+4 3

4

=6+

3

．
∴v=

AQ

t

=

12 3 +2 3

6+ 3

=

28 3 -14

11

（cm/s）．
∴點Q的速度為2

3

cm/s或

28 3 -14

11

cm/s．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質和勾股定理的應用，根據已知點P運動的位置進行分類討論得出是解題關鍵．