Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在射線OX、OY上移動(dòng)，BE是∠ABY的角平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點(diǎn)C，試問∠ACB的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明．

Answer 1

【答案】解：∠ACB的大小不發(fā)生改變， 如圖，

∵BE平分∠ABF，CA平分∠OAB，
∴2∠EBA=∠ABF，∠OAB=2∠CAB，
又∵∠ABF為△AOB的外角，
∴∠ABF=∠AOB+∠OAB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABF=90°+∠OAB，
又∵∠EBA為△ACB的外角，
∴∠EBA=∠C+∠CAB，
∴90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），
90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，
∴∠C=45°，
即∠ACB的大小不發(fā)生改變．
【解析】由BE平分∠ABF、CA平分∠OAB知2∠EBA=∠ABF、∠OAB=2∠CAB，根據(jù)△AOB外角性質(zhì)得∠ABF=∠AOB+∠OAB，即∠ABF=90°+∠OAB，再根據(jù)△ACB外角性質(zhì)得∠EBA=∠C+∠CAB，即90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），從而知90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，即可得∠C=45°．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的外角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．