Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD是△ABC的角平分線，點O在BD上，分別過點O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足為E，F，且OE=OF.

（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OE＝2.

【解析】試題分析：（1）過點O作OM⊥AB，由角平分線的性質得OE=OM，由正方形的性質得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點O在∠BAC的平分線上；
（2）連接OC，根利用勾股定理求出AB的長，據三角形的面積公式即可得出結論．

試題解析：（1）證明：過點O作OM⊥AB于點M.

因為BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.

又OE=OF，所以OM=OF.所以點O在∠BAC的平分線上.

（2）連接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根據勾股定理，得AB＝13.

因為S△ABO+S△BCO+S△ACO =S△ABC，所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.

由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.