Question

【題目】已知拋物線y＝a(x﹣3)2+過點C(0，4)，頂點為M，與x軸交于A、B兩點.如圖所示以AB為直徑作圓，記作⊙D，下列結論：①拋物線的對稱軸是直線x＝3；②點C在⊙D外；③在拋物線上存在一點E，能使四邊形ADEC為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切.正確的結論是( )

A.①③B.①④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據拋物線的解析式即可判定；

②求得AD、CD的長進行比較即可判定，

③過點C作CE∥AB，交拋物線于E，如果CE＝AD，則根據一組等邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定；

④求得直線CM、直線CD的解析式通過它們的斜率進行判定；

由拋物線y＝a(x﹣3)2+可知：拋物線的對稱軸x＝3，故①正確；

∵拋物線y＝a(x﹣3)2+過點C(0，4)，

∴4＝9a+，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣(x﹣3)2+，

令y＝0，則﹣(x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，

∴A(﹣2，0)，B(8，0)；

∴AB＝10，

∴AD＝5，

∴OD＝3

∵C(0，4)，

∴CD＝,

∴CD＝AD，

∴點C在圓上，故②錯誤；

過點C作CE∥AB，交拋物線于E，

∵C(0，4)，

代入y＝﹣(x﹣3)2+得：4＝﹣(x﹣3)2+，

解得：x＝0，或x＝6，

∴CE＝6，

∴AD≠CE，

∴四邊形ADEC不是平行四邊形，故③錯誤；

由拋物線y＝a(x﹣3)2+可知：M(3，)，

∵C(0，4)，

∴直線CM為y＝x+4，直線CD為：y＝x+4，

∴CM⊥CD，

∵CD＝AD＝5，

∴直線CM與⊙D相切，故④正確；

故選：B.