Question

已知如圖，過O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點M（2m，0）、交y軸的負半軸于點D，弧OBM與弧OAM關于x軸對稱，其中A、B、C是過點P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點．
（1）當m=4時，
①填空：B的坐標為______，C的坐標為______，D的坐標為______；
②若以B為頂點且過D的拋物線交⊙P于點E，求此拋物線的函數關系式和寫出點E的坐標；
③除D點外，直線AD與②中的拋物線有無其它公共點并說明理由．
（2）是否存在實數m，使得以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）①B（4，-2）C（4，-8）D（0，-6）
②設拋物線的解析式為y=a（x-4）²-2，已知拋物線過D點，
因此-6=a（x-4）²-2，
解得a=-

1

4

．
拋物線的函數關系式為：y=-

1

4

（x-4）²-2．
根據對稱可知：E（8，-6）
③直線AD：y=2x-6，
把y=2x-6代入y=-

1

4

（x-4）²-2，
整理得：x²=0，得x₁=x₂=0
∴除D點外，直線AD與②中的拋物線無其它公共點．

（2）設A（m，h），則B的坐標為（m，-h），C的坐標為（m，h-10）．
假設以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，
設DE與BC相交于點F，
∵OM=DE，OM∥DE，AC⊥OM，
∴CF=

1

2

AB，即BF=CF=

1

2

AB．
∴10-3h=h，
即h=

5

2

∴AB=5
∴B、P兩點重合
∴m=

OP2-h2

=

52-( 5 2 )2

=

5

2

3

．