Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1 ， x2 ．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）是否存在實數k使得x1x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵原方程有兩個實數根，

∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，

∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0

∴1﹣4k≥0，

∴k≤ ．

∴當k≤ 時，原方程有兩個實數根

（2）解：假設存在實數k使得 ≥0成立．

∵x1，x2是原方程的兩根，

∴ ．

由 ≥0，

得 ≥0．

∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，

∴只有當k=1時，上式才能成立

又∵由（1）知k≤ ，

∴不存在實數k使得 ≥0成立

【解析】（1）根據已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式△≥0，據此列出關于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；（2）假設存在實數k使得 ≥0成立．利用根與系數的關系可以求得 ，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉化為含有兩根之和、兩根之積的形式 ≥0，通過解不等式可以求得k的值．