Question

四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E．

（1）如圖1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AF-BF=EF；

（2）如圖2，在（1）條件下，AG=BG，求；

（3）如圖3，連EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE= 。（直接寫出結果）

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用△AED≌△BFA求得AE=BF，再利用線段關系求出AF-BF=EF．

（2）延長AG與DC交于點F，設BG=t先求出AB，再利用△ABG≌△FCG及直角三角形斜邊上的中點，求出；

（3）連接DG，作EM⊥BC于M點，利用直角三角形求出DG，CD的長，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再運用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再運用勾股定理即可求出CE的長．

試題解析：(1)∵ 四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

又DE⊥AG，BF∥DE，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠ABF，

在△AED和△BFA中，

∴△AED≌△BFA（AAS），

∴AE=BF，

∴AF-BF=EF，

（2）如圖2，延長AG與DC交于點F，

∵AG=BG，設BG=t，則AG=t，

在Rt△ABG中，AB=，

∴G為BC的中點，

在△ABG和△FCG中，

∴△ABG≌△FCG（AAS），

∴AB=FC=CD，

又∵DE⊥AG，

在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點，

∴EC=CD=CF，

∴.

（3）如圖3，連接DG，作EM⊥BC于M點，

∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，

∴在RT△DEG中，DG=，

∵CG=CD，

∴在Rt△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，

∴CD=CG=，

∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，

∴∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA=90°，

∴△ABG∽△DEA，

∴，

設AD=x，則AE=，AG=+1，

∴，

解得x1=，x2=（舍去）

∴AE=，

又∵∠BAG=∠MEG，

∴∠EDA=∠MEG，

∴△EMG∽△DEA

∴，即

解得EM=，MG=，

∴CM=CG+MG=，

∴CE=．

考點：四邊形綜合題．