Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的圓O交斜邊AB于D．過D作DE⊥AC于E，將△ADE沿直線AB翻折得到△ADF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為10，sin∠FAD=，延長FD交BC于G，求BG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，得到∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，由于OA=OD，于是得到∠DAE=∠ODA，根據平行線的判定定理得到OD∥AF，根據平行線的性質得到OD⊥DF，于是得到結論；
（2）連接DC，由于AC是 O的直徑，即CD⊥AB；又FD與BC均是 O的切線且相交于點G由切線長定理可得：GD=GC，于是得到∠GDC=∠GCD，由于GD是Rt△BDC斜邊上的中線，即GD=BC，由于△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，得到sin∠DAE=sin∠DAF=，解直角三角形得到sin∠DAC===，得DC=6，由勾股定理得AD=8；根據三角形相似即可得到結論．

(1)證明：

∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，

∴∠DAE=∠DAF,∠AED=∠F=90°，

又∵OA=OD，

∴∠DAE=∠ODA，

∴∠DAF=∠ODA，

∴OD∥AF，

∴∠ODF+∠F=180°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是O的切線；

(2)連接DC,

∵AC是圓O的直徑，

∴∠ADC=90°，即CD⊥AB；

又∵FD與BC均是圓O的切線且相交于點G，

由切線長定理可得：GD=GC，

∴∠GDC=∠GCD，

又∵Rt△BDC中,∠GCD+∠B=90°,∠GDC+∠GDB=90°，

∴∠B=∠GDB，

∴GD=GB，

∴GD是Rt△BDC斜邊上的中線,即GD=BC，

∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，

∴∠DAE=∠DAF，

∴sin∠DAE=sin∠DAF=，

又∵圓O的半徑為5，

∴AC=10，

Rt△DAC中,∠ADC=90°，

∴sin∠DAC=DCAC=DC10=，得DC=6，

由勾股定理得AD=8；

在Rt△ADC與Rt△ACB中,∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠BAC，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴,即,解得BC=；

∴GB=GD=BC=.