Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直線x=m（m＞2）與x軸交于點D．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在直線x=m（m＞2）上有一點E（點E在第四象限），使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出m的值及四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數的圖象經過A，B，C三點，把三點的坐標代入解析式就可以得到一個三元一次方程組，就可以求出函數的解析式；
（2）E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，這兩個三角形都是直角三角形，因而應分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE兩種情況討論．△AOC的三邊已知，△BDE中，BD=m-2，而DE=-m．根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出m的值；
（3）四邊形ABEF是平行四邊形，因而EF=AB，且這兩個點的縱坐標相同，E點的縱坐標是m，把x=m代入拋物線的解析式就可以求出點F的橫坐標，則EF的長就可以求出．根據EF=AB就可以得到一個關于m的方程，解方程就可以求出m的值．若m的值存在，就可以求出四邊形的面積．

解答：解：（1）根據題意，得

a+b+c=0 4a+2b+c=0 c=-2

解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．（2分）

（2）當△EDB∽△AOC時，
得

AO

ED

=

CO

BD

或

AO

BD

=

CO

ED

，
∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
當

AO

ED

=

CO

BD

時，得

1

ED

=

2

m-2

，
∴ED=

m-2

2

，
∵點E在第四象限，
∴E1(m，

2-m

2

)．（4分）
當

AO

BD

=

CO

ED

時，得

1

m-2

=

2

ED

，
∴ED=2m-4，
∵點E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）．（6分）

（3）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則EF=AB=1，點F的橫坐標為m-1，
當點E₁的坐標為(m，

2-m

2

)時，點F₁的坐標為（m-1，

2-m

2

），
∵點F₁在拋物線的圖象上，
∴

2-m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=

7

2

，m=2（舍去），
∴F1(

5

2

，-

3

4

)，
∴S_{平行四邊形ABEF}=1×

3

4

=

3

4

．（9分）
當點E₂的坐標為（m，4-2m）時，點F₂的坐標為（m-1，4-2m），
∵點F₂在拋物線的圖象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，
∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6），
∴S_{平行四邊形ABEF}=1×6=6．（12分）
注：各題的其它解法或證法可參照該評分標準給分．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及平行四邊形的判定方法，是一個存在性問題，在中考中經常出現．