Question

如圖△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在射線DE上，并且EF=AC
（1）求證：AF=CE；
（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，請回答并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）求出EF∥AC，根據EF=AC，利用平行四邊形的判定推出四邊形ACEF是平行四邊形即可；
（2）求出CE=

1

2

AB，AC=

1

2

AB，推出AC=CE，°，根據菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，DE是BC垂直平分線，
∴∠BDE=∠ACB=90°，
∴EF∥AC，
∵EF=AC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∴AF=CE．

（2）當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形，
證明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=

1

2

AB，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴BD=DC，
∵DE∥AC，
∴BE=AE，
∵∠ACB=90°，
∴CE=

1

2

AB，
∴CE=AC，
∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴四邊形ACEF是菱形，
即當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，線段垂直平分線，含30度角的直角三角形性質，直角三角形斜邊上中線性質等知識點的應用，綜合性比較強，有一定的難度．