Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖一，點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標；
（3）如圖二，設線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2；（2）當點P坐標為（1，2）時，四邊形ABPC的面積最大；（3）存在，點G的坐標為（）．

解析試題分析：（1）利用待定系數法即可求得.
（2）如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達式，然后利用二次函數性質求出最值.
（3）如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點A、C關于直線DE對稱．連接AM，與DE交于點G，此時△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯立后求出點G的坐標．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．
∴， 解得.
∴這條拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．
（2）設直線BC的解析式為：y=kx+m，將B（2，0）、C（0，2）代入得：
，解得.
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．
如答圖1，連接BC．
四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．
設P（x，﹣x²+x+2），
過點P作PF∥y軸，交BC于點F，則F（x，﹣x+2）．
∴PF=（﹣x²+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x．
S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=PF（x_F﹣x_C）+PF（x_B﹣x_F）=PF（x_B﹣x_C）=PF
∴S_△PBC=﹣x²+2x=﹣（x﹣1）²+1
∴當x=1時，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時P（1，2）．
∴當點P坐標為（1，2）時，四邊形ABPC的面積最大．

（3）存在．
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED.
又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE.
∴，即，解得AE=.
∴E（，0）．
∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點D為AC的中點，∴D（，1）．
可求得直線DE的解析式為：①．
∵，∴M（）．
又A（﹣1，0），則可求得直線AM的解析式為： ②．
∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點A、C關于直線DE對稱．
如答圖2，連接AM，與DE交于點G，
此時△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點G為所求．
聯立①②式，可求得交點G的坐標為（）．
∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，點G的坐標為（）．

考點：1.二次函數綜合題；2.單擊動點問題；3.待定系數法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.二次函數的性質；6.線段垂直平分線的性質；7.軸對稱的應用（最短線路問題）.