Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）直線AN交y軸于點F，P是拋物線的對稱軸x=1上動點，H是X軸上一動點，請探索：是否存在這樣的P、H，使四邊形CFHP的周長最短？若存在，請求出四邊形CFHP的最短周長和點P、H的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是∠MDB的角平分線上動點，點R是線段DB上的動點，Q、R在何位置時，BQ+QR的值最小．請直接寫出BQ+QR的最小值和Q、R的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出二次函數解析式即可，再利用圖象與坐標軸交點求法得出即可；
（2）利用軸對稱得出F的對稱點G，連接GN即可得出P點位置，利用軸對稱的性質得出CF+FH+PH+PC=CF+GN進而得出答案即可；
（3）首先求出BC=DC的長度，再利用軸對稱性質得出BQ+QR的最小值為3

2

，進而得出Q，R的坐標．

解答：解：（1）依題意設所求拋物線的解析式為：
y=k（x-1）²+4，
因為拋物線經過點N（2，3），
∴3=k（2-1）²+4，
解得：k=-1，
∴所求拋物線為y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
所以，A，B，C三點的坐標分別是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）解：如圖1，連接AN交y軸于F點，
可求得直線AN的解析式為：y=x+1，
即點F的坐標為：F（0，1）
過點F作關于x軸的對稱點G，即G（0，-1）
連接CN，再連接NG交對稱軸于P，H，
∴CF+FH+PH+PC=CF+GN=2+2

5

即四邊形CFHP的最短周長為2+2

5

此時直線GN的解析式為：y=2x-1
所以存在點H的坐標為H(

1

2

，0)，點P的坐標為P（1，1）；

（3）如圖2，
作∠MDB的平分線DG，連接BC，交DG于點Q，點C關于DG的對稱點R落在x軸上，
此時QB+QR=BC，
由直線DM的解析式：y=x+3，
所以點D的坐標為：D（-3，0），
所以DB=6，∠BCD=90°，
所以BC=DC=6×

2

2

=3

2

，
所以，BQ+QR的最小值為3

2

，
由對稱關系可得：DR=DC=3

2

，
∴OR=3

2

-3，連接QR，
此時QR⊥DR，
∴QR=BR=6-3

2

，
所以，R，Q點的坐標為(3

2

-3，0)，(3

2

-3，6-3

2

)．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式和利用軸對稱求最小值問題等知識，利用數形結合得出R點位置是解題關鍵．