Question

如圖，點，的坐標分別為（2，0）和（0，），將繞點按逆時針方向旋轉后得，點的對應點是點，點的對應點是點．

（1）寫出，兩點的坐標，并求出直線的解析式；

（2）將沿著垂直于軸的線段折疊，（點在軸上，點在上，點不與，重合）如圖，使點落在軸上，點的對應點為點．設點的坐標為（），與重疊部分的面積為．

i）試求出與之間的函數關系式（包括自變量的取值范圍）；

ii）當為何值時，的面積最大？最大值是多少？

iii）是否存在這樣的點，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）

設直線的解析式，則有

     解得

直線的解析式為

（2）i）①點在原點和軸正半軸上時，重疊部分是．

則

當與重合時，

②當在軸的負半軸上時，設與軸交于點，則重疊部分為梯形.

又

當點與點重合時，點的坐標為

綜合得

ii）當時，  對稱軸是

拋物線開口向上，在中，隨的增大而減小

當時，的最大值＝

當時，

對稱軸是

拋物線開口向下

當時，有最大值為

綜合當時，有最大值為

iii）存在，點的坐標為和

附：詳解：當以點為直角頂點時，作交軸負半軸于點，

點坐標為（，0）

點的坐標為

當以點為直角頂點時

同樣有

點的坐標

綜合①②知滿足條件的坐標有和．