Question

如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點E，AE=ED，延長DB到點F，使，連接AF．
（1）證明：△BDE∽△FDA；
（2）連接OA，求證：OA⊥BC；
（3）試判斷直線AF與⊙O的位置關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得出=，∠ADB=∠ADF，根據一個角相等，夾這個角的兩邊對應成比例從而得出△BDE∽△FDA；
（2）連接OA，OB，OC，由AB=AC，得出∠OAB=∠OAC，又OB=OC，從而得出AO⊥BC即可；
（3）直線AF與⊙O相切．由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，可得出BE∥FA，根據AO⊥BE，可得出AO⊥FA，即直線FA與⊙O相切．
解答：證明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵，∴…（2分）
又∵∠BDE=∠FDA
∴△BDE∽△FDA …（5分）
（2）連接OA，并連接OB和OC，如下圖所示，

∵AB=AC，OA=OA，OB=OC，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC．…（6分）
又∵OB=OC
∴AO⊥BC…（7分）

（3）直線AF與⊙O相切．  …（8分）
由△BDE∽△FDA，那么∠EBD=∠AFD．
∴BE∥FA…（9分）
由AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直線FA與⊙O相切．…（11分）
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及切線的判定，是中考壓軸題，但難度不大．