Question

為迎接2011年中國國際旅游節，某賓館將總面積為6 000平方米的房屋裝修改造成普通客房（每間26平方米）和高級客房（每間36平方米）共100間及其他功能用房若干間，要求客房面積不低于總面積的50%，又不超過總面積的60%．
（1）求最多能改造成普通客房多少間．
（2）在（1）的情況下，旅游節期間，普通客房以每間每天100元的價格全部租出，高級客房每天租出的間數y（間）與其價格x（元/間）之間的關系如圖所示．試問：該賓館一天的最高客房收入能達到12 000元嗎？若能，求出此時高級客房的價格；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設改造成的普通客房為n間（n為正整數），根據題意列出不等式3 000≤26n+36（100-n）≤3 600解得后即可確定n的最大值；
（2）由圖象，得y與x之間的函數關系為y=-x+110．然后表示出總收入后w=-x²+110x+6 000，配方即可確定最值．
解答：解：（1）設改造成的普通客房為n間（n為正整數），
則3 000≤26n+36（100-n）≤3 600．（2分）
解此不等式組，得-600≤-10n≤0，0≤n≤60，
∴最多可改造成普通客房60間．（4分）

（2）由圖象，得y與x之間的函數關系為
y=-x+110．（6分）
由題意，設每天的客房收入為w元，
則 w=-x²+110x+6 0×100．
=-x²+110x+6 000
=-（x-110）²+12 050．（9分）
∵高級客房租出的間數最多為40間，
即-x+110≤40，x≥140．
由二次函數的性質，知x=140時，w有最大值為11 600元．
∵11 600＜12 000，
∴該賓館一天最高客房收入不能達到12 000元．（12分）
點評：本題考查了根據實際問題列一次函數及一次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助一次函數解決實際問題．