Question

如圖①，梯形ABCD中，∠C=90°．動點E、F同時從點B出發，點E沿折線BA-AD-DC運動到點C時停止運動，點F沿BC運動到點C時停止運動，它們運動時的速度都是1cm/s．設E、F出發ts時，△EBF的面積為ycm²．已知y與t的函數圖象如圖②所示，其中曲線OM為拋物線的一部分，MN、NP為線段．請根據圖中的信息，解答下列問題：
（1）梯形上底的長AD=

 

cm，梯形ABCD的面積

 

cm²；
（2）當點E在BA、DC上運動時，分別求出y與t的函數關系式（注明自變量的取值范圍）；
（3）當t為何值時，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：2？

Answer 1

分析：（1）此題的關鍵是要理解分段函數的意義，OM段是曲線，說明E、F分別在BA、BC上運動，此時y、t的關系式是二次函數；MN段是線段，且平行于t軸，那么此時F運動到終點C，且E在線段AD上運動，此時y為定值；NP段是線段，此時y、t的函數關系式是一次函數，此時E在線段CD上運動，此時y值隨t的增大而減小；
根據上面的分析，可知在MN之間時，E在線段AD上運動，在這個區間E點運動了2秒，所以AD=2cm；
根據OM段的函數圖象知：當t=5時，E、F分別運動到A、C兩點，那么AB=BC=5；根據MN段函數圖象知：此時△BEF的面積為10，可據此求出梯形的高為4，進而可根據梯形的面積公式求出梯形ABCD的面積；
（2）利用待定系數法分別求兩個解析式；
（3）當E在AD上運動時，△EBF的面積為10，顯然不符合題意，所以當△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：2時，E點一定在線段BA或線段CD上，可將△EBF的面積（即梯形面積的一半）代入（2）題求得的兩個函數關系式中，即可得到所求的t值．

解答：解：（1）由圖可知：OM段為拋物線，此時點E、F分別在BA、BC上運動；
當E、A重合，F、C重合時，t=5s，
∴AB=BC=5cm；
MN段是線段，且平行于t軸，此時F運動到終點C，E點在線段AD上運動；
∴AD=1×2=2cm，CD=2×S_△BEF÷BC=2×10÷5=4cm；
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•CD=

1

2

×（2+5）×4=14cm²；
故填：2，14；

（2）當點E在BA上運動時，設拋物線的解析式為y=at²，把M點的坐標（5，10）代入得a=

2

5

，
∴y=

2

5

t²，0≤t≤5；
當點E在DC上運動時，設直線的解析式為y=kt+b，
把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=-

5

2

，b=

55

2

，
所以y=-

5

2

t+

55

2

，（7＜t≤11）

（3）當0＜t≤5時，

2

5

t²=

1

2

×14，
∴t=

70

2

；
當7＜t≤11時，-

5

2

t+

55

2

=

1

2

×14，
∴t=8.2；
∴t=

70

2

s或8.2s時，△BEF與梯形ABCD的面積比為1：2．

點評：此題主要考查了分段函數的應用、梯形的性質以及圖形面積的求法；能夠正確的理解分段函數的意義是解答此題的關鍵．