Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），將該拋物線位于x軸上方的曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點C，連接AC，BC．

（1）求曲線N所在拋物線的函數表達式；

（2）求△ABC外接圓的面積；

（3）點P為曲線M或曲線N上的動點，點Q為x軸上的一個動點，若以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標；

（4）在直線BC上方的曲線M上確定兩個點D1，D2，使得＝＝S△ABC．并求出點D1，D2的坐標；在曲線M或N上是否存在五個點T1，T2，T3，T4，T5，使得這五個點分別與點B，C圍成的三角形的面積為？若存在，直接寫出這五個點T1，T2，T3，T4，T5的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）5π；（3）Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）時以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形；（4）存在，T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．

【解析】

（1）由N與M圖象下方的部分關于x軸對稱，則可求N的解析式；

（2）求出A、B、C點坐標，分別作BC與AB的垂直平分線交于點O'，則O'為△ABC的外接圓，由等腰三角形的性質和勾股定理可求外接圓半徑；

（3）分兩種情況：當P點在M上時，設P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），當P點在N上時，設P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），再在每種情況中分兩種情況①當BQ∥PC，BQ＝PC時，②當BP∥CQ，BP＝CQ時，利用平行四邊形對角線互相平分的性質，中點重合聯立方程組求解；

（4）由已知可得D1D2所在直線與直線BC平行，D1D2所在直線與直線BC間的距離為2，設D1D2的直線解析式為y＝﹣x+b，由b﹣3＝4，可求y＝﹣x+7，再與拋物線聯立方程組即可求D1、D2點坐標；T1，T2，T3，T4，T5到直線BC的距離為，設與BC平行的直線為y＝﹣x+t，則|t﹣3|＝，則五個點分別在直線y＝﹣x+或y＝﹣x+上，再將直線與M、N的解析式聯立即可求坐標．

解：（1）∵N與M圖象下方的部分關于x軸對稱，

∴N所在函數解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵曲線N交y軸于點C，

∴C（0，3），

分別作BC與AB的垂直平分線交于點O'，則O'為△ABC的外接圓，

∵Rt△BOC為等腰直角三角形，

∴OO'＝OH＝O'H＝1，

∵HB＝2，

∴O'B＝，

∵O'B是△ABC外接圓的半徑，

∴△ABC外接圓的面積＝5π；

（3）當P點在M上時，設P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），

∴m≥3或m≤﹣1；

①當BQ∥PC，BQ＝PC時，B、C的中點為（，），P、Q的中點為（，），

∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，

＝，解得n＝2﹣或n＝2+，

∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；

②當BP∥CQ，BP＝CQ時，B、Q的中點為（，0），P、C的中點為（，），

∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；

當P點在N上時，設P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），

∴﹣1≤m≤3，

③當BQ∥PC，BQ＝PC時，B、C的中點為（，），P、Q的中點為（，），

∴＝，解得m＝0或m＝2，

＝，解得n＝3或n＝1，

∴Q（1，0）或Q（3，0），

∵Q（3，0）與B（3，0）重合，

∴Q（1，0）；

④當BP∥CQ，BP＝CQ時，B、Q的中點為（，0），P、C的中點為（，），

∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；

綜上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）時以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形；

（4）∵＝＝S△ABC，

∴D1D2所在直線與直線BC平行，

∵BC＝3，

設A點到BC的距離為h，

∵△ABC的面積＝×3h＝×4×3，

∴h＝2，

∴D1D2所在直線與直線BC間的距離為2，

設D1D2的直線解析式為y＝﹣x+b，

∴b﹣3＝4，

∴b＝7，

∴y＝﹣x+7，

聯立，解得x＝或x＝，

∴D1（，），D2（，）；

聯立，解得x無解；

綜上所述：D1（，），D2（，）；

∵T1，T2，T3，T4，T5與點B，C圍成的三角形的面積為，

∴T1，T2，T3，T4，T5到直線BC的距離為，

設與BC平行的直線為y＝﹣x+t，

∴|t﹣3|＝，

∴t＝或t＝，

∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，

當點在M上時，x≥3或x≤﹣1，

聯立，解得x＝或x＝﹣，

∴x＝﹣，

∴T1（﹣，）；

聯立，解得x＝或x＝，

∴T2（，）或T3（，）；

當點在N上時，﹣1≤x≤3，

聯立，解得x＝（舍）或x＝，

∴T4（，）；

聯立，解得x＝，

∴T5（，）；

綜上所述：存在五個點符合條件，分別是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．