Question

【題目】已知四邊形ABCD是菱形（四條邊都相等的平行四邊形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的兩邊分別與邊BC，DC相交于點E，F，且∠EAF＝60°．

（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系為：　 　．

（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B，C重合），求證：BE＝CF；

（3）求△AEF周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE＝EF＝AF；（2）詳見解析；（3）6．

【解析】

（1）結論AE＝EF＝AF．只要證明AE＝AF即可證明△AEF是等邊三角形；

（2）欲證明BE＝CF，只要證明△BAE≌△CAF即可；

（3）根據垂線段最短可知；當AE⊥BC時，△AEF的周長最小；

（1）AE＝EF＝AF．

理由：如圖1中，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，

∴△ABC，△ADC是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠DAC＝60°

∵BE＝EC，

∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，

∵∠EAF＝60°，

∴∠CAF＝∠DAF＝30°，

∴AF⊥CD，

∴AE＝AF（菱形的高相等）

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE＝EF＝AF．

故答案為AE＝EF＝AF；

（2）證明：如圖2，

∵∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

∴△BAE≌△CAF（ASA）

∴BE＝CF．

（3）由（1）可知△AEF是等邊三角形，

∴當AE⊥BC時，AE的長最小，即△AEF的周長最小，

∵AE＝EF＝AF＝2，

∴△AEF的周長為6．