Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，點E，F，G分別從點A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E，G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S（cm²）．

1.當t＝1秒時，S的值是多少？

2.寫出S和t之間的函數解析式，并指出自變量t的取值范圍．

3.若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點E，B，F為頂點的三角形與以F，C，G為頂點的三角形相似？請說明理由．

 

Answer 1

 

1.如圖甲，當t＝1秒時，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4， CG＝2，

由S＝S_梯形EBCG－S_△EBF－S_△FCG＝(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24

2.如圖（甲），當0≤t≤2時，點E、F、G分別在AB、BC、CD上移動，

此時AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t²－32t＋48（0≤t≤2）

如圖乙，當點F追上點G時，4t＝2t＋8，解得t＝4，

當2＜t≤4時，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，

3.如圖（甲），當點F在矩形的邊BC上移動時，0≤t≤2，

在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90^o，

①若，即，解得t＝，

又t＝滿足0≤t≤2，所以當t＝時△EBF∽△FCG

②若，即，解得t＝，

又t＝滿足0≤t≤2，所以當t＝時△EBF∽△GCF，

綜上知，當t＝或時，以點E、B、F為頂點的三角形與以F、C、G為頂點的三角形相似

解析:（1）當t=1時，根據點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，可求出S和t的關系．

（2）根據點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S，求出S和t的關系式．

（3）兩邊對應成比例夾角相等的三角形是相似三角形可求出解．