Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠BCA=30°，過點A、B、C三點作⊙O，過點C作⊙O的切線交BA延長線于點D，連接OA交BC于E．

（1）求證：OA∥CD；
（2）求證：△ABE∽△DCA；
（3）若OA=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，如圖，

∵∠B=45°，

∴∠AOC=2∠B=90°，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴OA∥CD

（2）證明：∵∠AOC=90°，OA=OC，

∴△AOC為等腰直角三角形，

∴∠OCA=45°，

∴∠ACD=45°，

∴∠B=∠ACD，

∵OA∥CD，

∴∠BAE=∠D，

∴△ABE∽△DCA

（3）解：作AH⊥BC于H，如圖，

∵△AOC為等腰直角三角形，

∴AC= OA=2 ，

在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，

∴AH= AC= ，CH= AH= ，

在Rt△ABH中，∵∠B=45°，

∴BH=AH= ，

∴BC=BH+CH= + ．

【解析】（1）連結OC，先利用圓周角定理得到∠AOC=2∠B=90°，再利用切線的性質得∠OCD=90°，根據平行線的判定即可得到結論；（2）先判斷△AOC為等腰直角三角形得到∠OCA=45°，則∠ACD=45°=∠B，再利用平行線的性質得∠BAE=∠D，然后根據相似三角形的判定即可得到結論；（3）作AH⊥BC于H，如圖，由△AOC為等腰直角三角形得到AC= OA=2 ，分別在Rt△ACH中和在Rt△ABH中利用含30度的直角三角形三邊的關系和等腰直角三角形的性質計算出BH和CH，從而得到BC的長．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．