Question

（2005•哈爾濱）已知：直線y=2x+6與x軸和y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過點A、C，點B是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求拋物線的解析式及B的坐標；
（2）設點P是直線AC上一點，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求點P的坐標；
（3）直線y=x+a與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點，問：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線的解析式求出A、C的坐標，然后將A、C的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，進而可根據拋物線的解析式求出B點的坐標．
（2）根據等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實際是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的長，然后分情況討論：
①當P在線段AC上時，AP+PC=AC，3AP=PC，據此可求出AP的長，然后根據∠CAB的三角函數值或通過構建相似三角形可求出P點的坐標．
②當P在CA的延長線上時，CP-AP=AC，3AP=PC，據此可求出AP的長，后面同①．
（3）可聯立兩函數的解析式，求出M、N的坐標，過M、N作x軸的垂線設垂足為M′、N′，由于∠MON=90°，因此可得出△MM′O與△N′NO相似，可得出M、N兩點的橫、縱坐標的絕對值對應成比例，據此可求出a的值．（也可用坐標系的兩點間的距離公式，根據勾股定理來求解．）
解答：解：（1）當x=0時，y=6，
∴C（0，6），
當y=0時，x=-3，
∴A（-3，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A、C，
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+6，
當y=0時，整理得x²+x-6=0，
解得：x₁=2，x₂=-3，
∴點B（2，0）．

（2）過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴=，
∴AP：PC=1：3
由勾股定理，得AC=
當點P為線段AC上一點時，過點P作PH⊥x軸，點H為垂足，
∴
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=-，
∴點P（，）
當點P在CA延長線時，作PG⊥x軸，點G為垂足
∵AP：PC=1：3
∴AP：AC=1：2，
∴，
∴PG=3，
∴-3=2x+6
，
∴點P（，-3）．

（3）存在a的值，使得∠MON=90°，
設直線y=x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側）
則
為方程組的解
分別過點M、N作MM’⊥x軸，NN′⊥x軸，點M、N為垂足．
∴M′（x_M，0），N′（x_N，0），
∴OM′=-x_MON′=x_N
∵∠MON=90°，
∴∠MOM′+∠NON′=90°，
∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，
∴，
∴MM′•NN′=ON′•OM′，
∴-x_M•x_N=y_M•y，
由方程組消去y整理，得：x²+x+a-6=0．
∴x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的兩個根，
由根與系數關系得，x_M+x_N=，x_M•x_N=a-6
又∵y_M•y_N=（x_M+a）（x_N+a）=x_M•x_N+（x_M+x_N）+a²=（a-6）-a+a²
∴-（a-6）=（a-6）-a+a²，
整理，得2a²+a-15=0
解得a₁=-3，a₂=
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值為a=-3或a=．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形面積的計算方法、三角形相似、函數圖象交點等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．