Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD= ，E為CD中點，連接AE，且AE=2 ，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，則BF=（ ）
A.1
B.3﹣
C. ﹣1
D.4﹣2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，延長AE交BC的延長線于G， ∵E為CD中點，
∴CE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠G=30°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG=AD= ，AE=EG=2 ，
∴AG=AE+EG=2 +2 =4 ，
∵AE⊥AF，
∴AF=AGtan30°=4 × =4，
GF=AG÷cos30°=4 ÷ =8，
過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，
則MN=AD= ，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴BM=CN，
∵MG=AGcos30°=4 × =6，
∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣ ﹣ =6﹣2 ，
∵AF⊥AE，AM⊥BC，
∴∠FAM=∠G=30°，
∴FM=AFsin30°=4× =2，
∴BF=BM﹣MF=6﹣2 ﹣2=4﹣2 ．
故選：D．

延長AE交BC的延長線于G，根據線段中點的定義可得CE=DE，根據兩直線平行，內錯角相等可得到∠DAE=∠G=30°，然后利用“角角邊”證明△ADE和△GCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=AD，AE=EG，然后解直角三角形求出AF、GF，過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，根據等腰梯形的性質可得BM=CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根據BF=BM﹣MF計算即可得解．