Question

如圖，以AB為直徑的半圓O上有一點C，過A點作半圓的切線交BC的延長線于點D．
（1）求證：△ADC∽△BDA；
（2）過O點作AC的平行線OF分別交BC，

BC

于E、F兩點，若BC=2

3

，EF=1，求

AC

的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質知：∠BAD=90°，由AB為半圓O的直徑，可得：∠ACD=90°，再根據∠ADC=∠BDA，故：△ADC∽△BDA；
（2）作輔助線，連接OC，在Rt△OBE中，根據勾股定理可將半徑求出，進而可將∠OBE和∠AOC的度數求出，代入弧長公式進行求解即可．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
∵AD為半圓O的切線，
∴∠BAD=90°，
∴∠ACD=∠BAD．
又∵∠ADC=∠BDA，
∴△ADC∽△BDA．

（2）解：連接OC，
∵OE∥AC，
∴OE⊥BC，
∴BE=EC=

3

．
在Rt△OBE中，設OB=x，則有：x²=（

3

）²+（x-1）²
∴x=OB=2，
∴OE=1，
∴∠OBE=30°，
∴∠AOC=60°，
∴

AC

的長=

60π×2

180

=

2π

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定及弧長的計算問題．