Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=8，∠BAD=60°，點E從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E不與點A重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）于點H，得到矩形EFHG，設點E運動的時間為t秒

（1）求線段EF的長（用含t的代數式表示）；

（2）求點H與點D重合時t的值；

（3）設矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數關系式；

（4）矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′，當OO′∥AD時，t的值為 ；當OO′⊥AD時，t的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）EF=t；（2）t=；（3）；（4）t=4；t=3．

【解析】

試題分析：（1）由題意知：AE=2t，由銳角三角函數即可得出EF=t；

（2）當H與D重合時，FH=GH=8﹣t，由菱形的性質和EG∥AD可知，AE=EG，解得t=；

（3）矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論：①當H在線段AD上，此時重合的部分為矩形EFHG；②當H在線段AD的延長線上時，重合的部分為五邊形；

（4）當OO′∥AD時，此時點E與B重合；當OO′⊥AD時，過點O作OM⊥AD于點M，EF與OA相交于點N，然后分別求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．

試題解析：（1）由題意知：AE=2t，0≤t≤4，∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin∠BAD=，∴EF=t；

（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t，當H與D重合時，此時FH=8﹣t，∴GE=8﹣t，∵EG∥AD，∴∠EGA=30°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=30°，∴∠BAC=∠EGA=30°，∴AE=EG，∴2t=8﹣t，∴t=；

（3）當0≤t≤時，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，∴由（2）可知：AE=EG=2t，∴S=EFEG=t2t=；

當＜t≤4時，如圖1，設CD與HG交于點I，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID，∵AE=2t，∴AF=t，EF=t，∴DF=8﹣t，∵AE=EG=FH=2t，∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan∠HDI=，∴HI=DH，∴S=EFEG﹣DHHI==；

綜上所述：；

（4）當OO′∥AD時，如圖2，此時點E與B重合，∴t=4；

當OO′⊥AD時，如圖3，過點O作OM⊥AD于點M，EF與OA相交于點N，由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，∴FN=t，FM=t，∵O′O⊥AD，O′是FG的中點，∴O′O是△FNG的中位線，∴O′O=FN=t，∵AB=8，∴由勾股定理可求得：OA=，∴OM=，∴O′M=，∵FE=t，EG=2t，∴由勾股定理可求得：，∴由矩形的性質可知：，∵由勾股定理可知：，∴，∴t=3或t=﹣6（舍去）．

故答案為：t=4；t=3．