Question

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心．一個(gè)三角形有且只有一個(gè)重心．可以證明三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．

可以根據(jù)上述三角形重心的定義及性質(zhì)知識(shí)解答下列問題：

如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE＝AD＝4

(1)猜想AG與GD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求△ABC的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

解1：(1)AG＝GD…………………………1分 　　∵BE平分∠B 　　∴∠ABG＝∠DBG 　　∵BG⊥AD，BG＝BG 　　∴∠BGA＝∠BGD 　　∴△ABG≌△DBG 　　∴AG＝GD，AB＝BD…………………………2分 　　(2)延長(zhǎng)BA到F，使AF＝BA 　　∴△BFC是等腰三角形…………………………4分 　　∵AD是BC的中線 　　∴AD是△BFC的一條中位線 　　延長(zhǎng)BE交CF于H點(diǎn)，則BH垂直平分FC 　　∴E是△BFC的重心…………………………5分 　　∴， 　　∵ 　　∴在Rt△BHC中，………………6分 　　………………7分 　　∵在Rt△EHC中， 　　∴………………8分 　　解2：(1)AG＝GD 　　∵BE平分∠B 　　∴∠ABG＝∠DBG 　　∵BG⊥AD，BG＝BG 　　∴∠BGA＝∠BGD 　　∴△ABG≌△DBG 　　∴AG＝GD………………………………2分 　　(2)從點(diǎn)C作CH∥AD與BE的延長(zhǎng)線交于H………………3分 　　∵GD∥HC 　　∴△BGD∽△BHC 　　∴ 　　有D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，也是BH的中點(diǎn) 　　∵GD＝2 　　∴HC＝4，BG＝GH 　　設(shè)BG＝x，則， 　　∵AG∥HC 　　∴△AGE∽△CHE 　　∴，即 　　解出x＝3……………………………………5分 　　∴在Rt△BHC中，………………6分 　　………………7分 　　∵GE＝1，EH＝2 　　∴在Rt△AGE中， 　　∵EC＝2AE＝ 　　∴…………………………8分