Question

Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分別為AC，AB上的兩動點，P從點C開始以1cm/s的速度向點A運動，Q從點A開始以2cm/s的速度向點B運動，當一點到達終點時，P、Q兩點就同時停止運動．設運動時間為ts．
（1）用t的代數式分別表示AQ和AP的長；
（2）設△APQ的面積為S，
①求△APQ的面積S與t的關系式；
②當t=2s時，△APQ的面積S是多少？
（3）當t為多少秒時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）用t的代數式分別表示AQ=2t，AP=6-t；
（2）設△APQ的面積為S，
①根據三角形的面積公式可知S_△APQ=

1

2

AQ•AP=

1

2

×2t×（6-t）=6t-t²，即S=6t-t²；
②當t=2s時，代入三角形的面積公式即可求值．
（3）①當

AQ

AB

=

AP

AC

時

2t

6

=

6-t

6

，則有t=2.4（s）；
②當

AQ

AC

=

AP

AB

時

2t

6

=

6-t

8

，則有t=

18

11

（s）．

解答：解：（1）用t的代數式分別表示AQ=2t，AP=6-t；（2分）

（2）設△APQ的面積為S，
①△APQ的面積S與t的關系式為：S=

1

2

AQ•AP=

1

2

×2t×（6-t）=6t-t²，即S=6t-t²，
②當t=2s時，△APQ的面積S=

1

2

×AQ•AP=

1

2

×[2×2×（6-2）]=8（cm²）；（6分）

（3）當t為多少秒時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，
①當

AQ

AB

=

AP

AC

時

2t

6

=

6-t

6

，∴t=2.4（s）；
②當

AQ

AC

=

AP

AB

時

2t

6

=

6-t

8

，∴t=

18

11

（s）；
綜上所述，當t為2.4秒或

18

11

時，
以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題考查的是相似三角形的性質，解答此類題目要根據實際問題具體分析，鍛煉了學生從多個角度思考問題的能力．