Question

如圖1，將EAF繞著四邊形ABCD的頂點A順時針旋轉，EAF的兩邊分別與DC的延長線交于點F，與CB的延長線交于點E，連接EF。

小題1:若四邊形ABCD為正方形，當EAF=時，EF與DF、BE之間有怎樣的數量關系？（只需直接寫出結論）
小題2:如圖2，如果四邊形ABCD中，AB=AD，ABC與ADC互補，當EAF= BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數量關系？請寫出它們之間的關系式并給予證明。
小題3:在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周長（直接寫出結果即可）。

Answer 1

小題1:EF=DF－BE
小題2:EF=DF－BE。
證明：在DF上截取DM=BE，連接AM。如圖，

∵D＋ABC=ABE＋ABC=，
∴D=ABE。
∵AD=AB，
∴ADM≌ABE。
∴AM=AE，DAM=BAE。
∵EAF=BAE＋BAF=BAD，
∴DAM＋BAF=BAD。
∴MAF=BAD。
∴EAF=MAF。
∵AF是EAF與MAF的公共邊，
∴EAF≌MAF。
∴EF=MF。
∵MF=DF－DM=DF－BE，
∴EF=DF－BE。
小題3:CEF的周長為15。

（1）（2）的解題思路一致，都是通過兩步全等來實現；在DF上截取DM=BE，第一步，首先證△ADM≌△ABE，得DF=BE；第二步，證△AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得到DF、EF、BE的數量關系．
（3）根據前三問的結論知：EF=DF-BE，那么△CEF的周長可轉化為：EF+BE+BC+FC=DF+BC+FC，即可得解．