Question

【題目】已知二次函數與一次函數，

（1）求證：對任意的實數，函數與的圖象總有兩個交點；

（2）設與的圖象相交于兩點，的圖象與軸相交于點，記與的面積分別為（為坐標原點），求證：總是定值；

（3）對于二次函數，是否存在實數，使得當時，恰好有，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）把兩函數聯立得到一元二次方程，根據根的判別式△＞0即可求解；

（2）設，根據一元二次方程根與系數的關系得到，再根據二次函數的解析式求出C點坐標，得到，再代入即可求解；

（3）先把二次函數化為頂點式，當時，有最大值，根據當時，恰好有，故，而函數的對稱軸為，得到函數值會隨著增大而增大，把（a,a）和（b,b）代入二次函數，再根據根與系數的關系得到，故可求出的值．

解：（1）聯立與的方程

消去得

對任意的實數，函數與的圖象總有兩個交點．

（2）設，則是方程的兩根，

由根與系數的關系知：，因為二次函數與軸相交于點

所以

故總是定值；

（3），當時，有最大值，

所以，而函數的對稱軸為，

所以當時，

函數值會隨著增大而增大，

把（a,a）和（b,b）代入二次函數得，

則

所以是方程的兩根且這兩根均小于4，

所以

∴．