Question

【題目】已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．

①求證：CD=AN；

②若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：①根據兩直線平行，內錯角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角邊角”證明△AMD和△CMN全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CN，然后判定四邊形ADCN是平行四邊形，再根據平行四邊形的對邊相等即可得證；

②根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和推出∠MCD=∠MDC，再根據等角對等邊可得MD=MC，然后證明AC=DN，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證．

試題解析：①∵CN∥AB，

∴∠DAC=∠NCA，

在△AMD和△CMN中，

∠DAC＝∠NCA

∵ MA＝MC ，

∠AMD＝∠CMN

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN，

又∵AD∥CN，

∴四邊形ADCN是平行四邊形，

∴CD=AN；

②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MD=MC，

由①知四邊形ADCN是平行四邊形，

∴MD=MN=MA=MC，

∴AC=DN，

∴四邊形ADCN是矩形．