Question

已知點P（m，n）（m＞0）在直線y=x+b（0＜b＜3）上，點A、B在x軸上（點A在點B的左邊），線段AB的長度為

4

3

b，設△PAB的面積為S，且S=

2

3

b²+

2

3

b．
（1）若b=

3

2

，求S的值；
（2）若S=4，求n的值；
（3）若直線y=x+b（0＜b＜3）與y軸交于點C，△PAB是等腰三角形，當CA∥PB時，求b的值．

Answer 1

分析：（1）把b=

3

2

代入關系式，即可求出S的值；
（2）把S=4代入S=

2

3

b²+

2

3

b．求出b的值，根據b的取值范圍，舍去不合題意的值，有|AB|=S=|AB|•n•

1

2

=4，即可求出n的值；
（3）由S=n•

4

3

b•

1

2

=

2

3

b²+

2

3

b，得n=b+1又n=m+b=b+1，得m=1，有P（1，b+1）①當PA=PB時，x_B-x_A=

4

3

b，
①（x_B-1）²+（b+1）²=（x_A-1）²+（b+1）²，
②

b+1

xB-1

=

b

xA

，三式聯立便可求出XA，XB的值，代入②求出B的值，舍去不合題意的值；同上，求出當PA=PB時，XA-XB=

4

3

b時，求出b的值，由b＞0可知，它們均不合題意，故b=1．

解答：解：（1）當b=

3

2

時，S=

2

3

×

9

4

+

2

3

×

3

2

=

3

2

+1=

5

2

；

（2）當S=4時，

2

3

b²+

2

3

b=4，
b²+b-6=0，
即（b+3）（b-2）=0，
∴b=-3或b=2，
又0＜b＜3，
∴b=2，代入得：
∴|AB|=S=|AB|•n•

1

2

=4，
∴n=3；

（3）S=n•

4

3

b•

1

2

=

2

3

b²+

2

3

b，得n=b+1，
又n=m+b=b+1，
∴m=1，
∴P（1，b+1），
Ⅰ：當PA=PB時，x_B-x_A=

4

3

b，
①（x_B-1）²+（b+1）²=（x_A-1）²+（b+1）²，
②

b+1

xB-1

=

b

xA

，
③聯立三式，得：

xA= 4b2-3b 3 xB= 4b2+b 3

代入②式得

4b2+b-3

3

=

4b2-3b-3

3

或

4b2+b-3

3

=

3+3b-4b2

3

，
解得b=0（舍去）或b=-

3

4

（舍去），b=1（符合）；
Ⅱ：當PB=AB時，x_A-x_B=

4

3

b，
①（x_B-1）²+（b+1）²=

16

9

b²，
③得XB=

4b2+b

3

，
代入②式得4b²+b-3=4b2+

7b2-18b-9

，
7b²-18b-9≥0，
解得b≥3（舍去）或b≤-

3

7

不符合0＜b＜3，
∴無解；
Ⅲ：當PA=AB時，x_A-x_B=

4

3

b，
①（x_A-1）²+（b+1）²=

16

9

b2，
②

b+1

xB-1

=

b

xA

，
③得XA=

4b2-3b

3

，
代入②式得（4b²+b-3）²=7b²-18b-9，7b²-18b-9≥0，
解得b≥3（舍去）或b≤-

3

7

不符合0＜b＜3，
∴無解．
∴綜上所述有b=1．

點評：在解答此題時要注意分兩種情況討論x_A，x_B所在的位置，確定b的值，不要漏解．