Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE＝∠CBE．

（1）求證：BH＝AC；

（2）求證：BG2﹣GE2＝EA2．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明詳見解析.

【解析】

試題（1）根據三角形的內角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根據ASA證出△DBH≌△DCA即可.（2）根據DB=DC和F為BC中點，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案.

試題解析：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°.

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA.

在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，

∴△DBH≌△DCA（ASA）.∴BH=AC.

（2）連接CG，

∵F為BC的中點，DB=DC，∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB.

在△ABE和△CBE中，∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE（ASA）.∴EC=EA.

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2.

∴BG2﹣GE2=EA2.