Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面積S；
（2）動點P從點B出發，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：
①當點P在B?A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；
③在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）過D作DH∥AB交BC于H點，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8-2=6．
∵CD=10，
∴DH²+CH²=CD²∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-t+2+10-t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴當t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分．
②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C=

8

6

=

4

3

∴

8-t

2

=

4

3

，∴t=

16

3

若△PAD∽△CEQ則∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C=

8

6

=

4

3

，∴

2

8-t

=

4

3

∴t=

13

2

第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點不能組成三角形；
第三種情況：10＜t≤12△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；
∴t=

16

3

或t=

13

2

時，△PAD與△CQE相似．

③第一種情況：當0≤t≤8時．過Q點作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．
∵AP=8-t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

t2-16t+68

．
∵CE=

3

5

t，QE=

4

5

t，
∴QH=BE=8-

3

5

t，BH=QE=

4

5

t．
∴PH=t-

4

5

t=

1

5

t．
∴PQ=

QH2+PH2

=

2 5 t2- 48 5 t+64

，DQ=10-t．
Ⅰ：DQ=DP，10-t=

t2-16t+68

，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-t=

2 5 t2- 48 5 t+64

，
化簡得：3t²-52t+180=0
解得：t=

26-2 34

3

，t=

26+2 34

3

＞8（不合題意舍去）
∴t=

26-2 34

3

第二種情況：8≤t≤10時．DP=DQ=10-t．
∴當8≤t＜10時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
第三種情況：10＜t≤12時．DP=DQ=t-10．
∴當10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
綜上所述，t=

26-2 34

3

或8≤t＜10或10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．