Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，CE=CD，

（1）求證：DB=DE

（2）在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）48.

【解析】

（1）根據△ABC是等邊三角形，BD是中線，可知∠DBC=30°，由CE=CD，∠ACD=60°可求得∠DCE=30°，即∠DBC=∠DCE，則DB=DE；

（2）根據Rt△DCF中∠FCD=30°知CD=2CF=4，即可知AC=8，則可求出△ABC的周長.

（1）解：證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角對等邊）；

（2）解： ∵∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°，DF⊥BE.

∴∠CDF=30°，

∵CF=4，

∴DC=8，

∵AD=CD，

∴AC=16，

∴△ABC的周長=3AC=48.