Question

【題目】如圖①所示，已知A、B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD1⊥l于點D1 ， 過點E作EE1⊥l于點E1 ．
（1）如圖②，當點E恰好在直線l上時（此時E1與E重合），試說明DD1=AB；
（2）在圖①中，當D、E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖③，當點E在直線l的下方時，請直接寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數量關系．（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形CADF、CBEG是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠CAB=90°，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∴∠ADD1=∠CAB，

在△ADD1和△CAB中，

，

∴△ADD1≌△CAB（AAS），

∴DD1=AB

（2）解：AB=DD1+EE1．

證明：過點C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠CHA=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四邊形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，

∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，

，

∴△ADD1≌△CAH（AAS），

∴DD1=AH；

同理：EE1=BH，

∴AB=AH+BH=DD1+EE1；

（3）解：AB=DD1﹣EE1．

證明：過點C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠CHA=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四邊形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，

∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，

，

∴△ADD1≌△CAH（AAS），

∴DD1=AH；

同理：EE1=BH，

∴AB=AH﹣BH=DD1﹣EE1

【解析】（1）由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS證得△ADD1≌△CAB，根據全等三角形的對應邊相等，即可得DD1=AB；（2）首先過點C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS證得△ADD1≌△CAH，根據全等三角形的對應邊相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，則可得AB=DD1+EE1 ． （3）證明方法同（2），易得AB=DD1﹣EE1 ．