Question

【題目】如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝ (x＞0)的圖象交于點P(n，2)，與x軸交于點A(－4，0)，與y軸交于點C，PB丄x軸于點B，點A與點B關于y軸對稱．

（1）求一次函數、反比例函數的解析式；

（2）求證：點C為線段AP的中點；

（3）反比例函數圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形，如果存在，說明理由并求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x＋1. （2）點C為線段AP的中點. （3）存在點D，使四邊形BCPD為菱形，點D（8，1）即為所求.

【解析】試題分析：（1）由點A與點B關于y軸對稱，可得AO＝BO，再由A的坐標求得B點的坐標，從而求得點P的坐標，將P坐標代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式，將A與P坐標代入一次函數解析式求出k與b的值，確定出一次函數解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可證得結論 ；（3）假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，過點C作CD平行于x軸，交PB于點E，交反比例函數y＝ 的圖象于點D，分別連結PD、BD，如圖所示，即可得點D（8，1）， BP⊥CD，易證PB與CD互相垂直平分，即可得四邊形BCPD為菱形，從而得點D的坐標．

試題解析：

（1）∵點A與點B關于y軸對稱，

∴AO＝BO，

∵A(－4，0)，

∴B(4，0)，

∴P(4，2),

把P(4，2)代入y＝得m＝8，

∴反比例函數的解析式：y＝

把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b

得： ，解得： ，

所以一次函數的解析式：y＝x＋1.

（2）∵點A與點B關于y軸對稱，

∴OA=OB

∵PB丄x軸于點B，

∴∠PBA=90°，

∵∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴點C為線段AP的中點.

（3）存在點D，使四邊形BCPD為菱形

∵點C為線段AP的中點，

∴BC= ，

∴BC和PC是菱形的兩條邊

由y＝x＋1，可得點C(0，1)，

過點C作CD平行于x軸，交PB于點E，交反比例函數y＝的圖象于點D，

分別連結PD、BD，

∴點D（8，1）， BP⊥CD

∴PE＝BE＝1，

∴CE＝DE＝4，

∴PB與CD互相垂直平分，

∴四邊形BCPD為菱形.

∴點D（8，1）即為所求.