Question

（2009•長沙）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接OE，根據切線的性質知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根據OD=OE，可知∠ODE=∠OED，從而可得∠ODE=∠F，BD=BF；
（2）根據△AOE∽△ABC，可將⊙O的半徑求出，代入圓的面積公式S_⊙O=πr²，計算即可．
解答：（1）證明：如圖，連接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）解：設⊙O半徑為r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴，
即，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍），
經檢驗，r=4是原分式的解．
∴S_⊙O=πr²=16π．
點評：本題考查了圓的切線性質及相似三角形的判定定理，有一定的綜合性．