Question

已知a是正整數，且使得關于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數根，求a的值．

Answer 1

分析：首先將原方程變形為（x+2）²a=2（x+6），進而分析x+2，以及a的取值，得出所有的可能結果．

解答：解：將原方程變形為（x+2）²a=2（x+6）．
顯然x+2≠0，于是a=

2(x+6)

(x+2)2

由于a是正整數，所以a≥1，即

2(x+6)

(x+2)2

≥1
所以x²+2x-8≤0，
（x+4）（x-2）≤0，
所以-4≤x≤2（x≠-2）．
當x=-4，-3，-1，0，1，2時，得a的值為1，6，10，3，

14

9

，1
∴a=1，3，6，10
說明從解題過程中知，當a=1時，有兩個整數根-4，2；
當a=3，6，10時，方程只有一個整數根．
綜上所述，當a=1，3，6，10時，關于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數根．

點評：此題主要考查了在關于x的一元二次方程中，如果參數是一次的，可以先對這個參數來求解，題目比較典型．