Question

已知拋物線y=ax²+6x-8與直線y=-3x相交于點A（1，m）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請問（1）中的拋物線經過怎樣的平移就可以得到y=ax²的圖象？
（3）設拋物線y=ax²上依次有點P₁，P₂，P₃，P₄，…，其中橫坐標依次是2，4，6，8，…，縱坐標依次為n₁，n₂，n₃，n₄，…，試求n₃-n₁₀₀₃的值．

Answer 1

解：（1）∵點A（1，m）在直線y=-3x上，
∴m=-3×1=-3，
把x=1，y=-3代入y=ax²+6x-8，
得a+6-8=-3，
求得a=-1，
∴拋物線的解析式是y=-x²+6x-8．

（2）∵y=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，
∴頂點坐標為（3，1），
∴把拋物線y=-x²+6x-8向左平移3個單位長度得到y=-x²+1的圖象，
再把y=-x²+1的圖象向下平移1個單位長度得到y=-x²的圖象．

（3）由題意知，P₁，P₂，P₃，的橫坐標是連續偶數，
所以P_n的橫坐標是2n，
縱坐標為n₃-n₁₀₀₃所對應的縱坐標依次是-6²，-2006²．
∴n₃-n₁₀₀₃=-6²-（-2006²）
=（2006+6）（2006-6）=4024000．
分析：（1）可根據直線的解析式求出A點的坐標，然后將其代入拋物線中，即可求出二次函數的解析式．
（2）將（1）的拋物線解析式化為頂點式，然后進行進行平移即可．
（3）本題中P_n的橫坐標應該是2n，縱坐標應該是n_n=4an²，由此可求出n₃和n₁₀₀₃的值．進而可求出它們的差．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、二次函數圖象的平移以及數的規律性問題．
（3）題要先從簡單的例子入手得出一般化的結論，然后根據得出的規律去求特定的值．