Question

（2009•呼和浩特）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12cm，AD=8cm，BC=22cm，AB為⊙O的直徑，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以2cm/s的速度運動．P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
（2）當t為何值時，PQ與⊙O相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先用t分別表示AP和CQ，然后利用平行四邊形的性質對邊相等就可以求出t；
（2）當PQ是圓的切線時，利用切線的性質把AP，PH，CQ，BQ分別用t表示，然后利用勾股定理就可以求出t．
解答：解：（1）∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PD∥QC，
∴當PD=QC時，四邊形PQCD為平行四邊形；
∵AP=t，CQ=2t，
∴8-t=2t
解得：，
∴當時，四邊形PQCD為平行四邊形．（3分）

（2）設PQ與⊙O相切于點H過點P作PE⊥BC，垂足為E；
∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PE=AB，
∵AP=BE=t，CQ=2t，
∴BQ=BC-CQ=22-2t，EQ=BQ-BE=22-2t-t=22-3t；
∵AB為⊙O的直徑，∠ABC=∠DAB=90°，
∴AD、BC為⊙O的切線，
∴AP=PH，HQ=BQ，
∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=22-t；（5分）
在Rt△PEQ中，PE²+EQ²=PQ²，
∴12²+（22-3t）²=（22-t）²，
即：8t²-88t+144=0，
∴t²-11t+18=0，
（t-2）（t-9）=0，
∴t₁=2，t₂=9；（7分）
∵P在AD邊運動的時間為秒，
∵t=9＞8，
∴t=9（舍去），
∴當t=2秒時，PQ與⊙O相切．（8分）
點評：此題利用了切線的性質，平行四邊形的性質，關鍵是用運動的觀點討論問題．