Question

九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐--應用--探究的過程：
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道（如圖①）進行測量，測得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式．
（2）應用：按規定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙）？
（3）探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：
I．如圖③，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸 上．設矩形ABCD的周長為l求l的最大值．
II•如圖④，過原點作一條y=x的直線OM，交拋物線于點M，交拋物線對稱軸于點N，P 為直線0M上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（2）根據已知得出當x=2時，正好是汽車寬度，求出即可；
（3）I．首先表示出矩形周長，再利用二次函數最值公式求出；
II•利用等腰直角三角形的性質得出QN=AB=AO，以及P在y=x的圖象上，即可得出P點的坐標．

解答：解：（1）根據坐標系可知此函數頂點坐標為（5，6.25），且圖象過（10，0）點，
代入頂點式得：
y=a（x-5）²+6.25，
∴0=a（10-5）²+6.25，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+6.25；

（2）當最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，
∴10-3×2=4，
4÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
4-3.5=0.5，
∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛；

（3）I．假設AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周長為l為：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l的最大值為：

4ac-b 2

4a

=

4×(- 1 2 )×20-1

-2

=20.5．
II•當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的圖象上，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q點的縱坐標為5，
∴5=

-m2+10m

4

，
解得：m=5±

5

，
當∠P₃NQ₃=90°時，過點Q₃作Q₃K₁⊥對稱軸，
當△NQ₃K₁為等腰直角三角形時，△NP₃Q₃為等腰直角三角形，
Q點在OM的上方時，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=-

1

4

x2 +

5

2

x-x，
Q₃K₁=5-x，
Q點在OM的下方時，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-

1

4

x2 +

5

2

x），
Q₄K₂=x-5，
∴

1

4

x²-

7

2

x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：
（5-

5

，5-

5

）或（5+

5

，5+

5

）或（4，4）或（10，10）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式以及二次函數最值求法和等腰直角三角形的性質，根據函數圖象獲取正確點的坐標以及利用y=x圖象上點的性質是解決問題的關鍵．