Question

【題目】已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，﹣ ）．

（1）求拋物線l2的函數表達式；

（2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標；

（3）M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣；（2）（1，1）；（3）12．

【解析】試題分析：（1）由對稱軸可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A點坐標，再利用待定系數法可求得l2的表達式；（2）設P點坐標為（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由條件可得到關于y的方程可求得y，可求得P點坐標；（3）可分別設出M、N的坐標，可表示出MN，再根據函數的性質可求得MN的最大值．

試題解析：（1）∵拋物線l1：y=﹣x2+bx+3的對稱軸為x=1， ∴﹣=1，解得b=2，

∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+2x+3， 令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∵拋物線l2經過點A、E兩點， ∴可設拋物線l2解析式為y=a（x+1）（x﹣5），

又∵拋物線l2交y軸于點D（0，﹣）， ∴﹣=﹣5a，解得a=， ∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，

∴拋物線l2的函數表達式為y=x2﹣2x﹣；

（2）設P點坐標為（1，y），由（1）可得C點坐標為（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4， ∵PC=PA，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1， ∴P點坐標為（1，1）；

（3）由題意可設M（x，x2﹣2x﹣）， ∵MN∥y軸， ∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①當﹣1＜x≤時，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，

顯然﹣1＜≤，∴當x=時，MN有最大值；

②當＜x≤5時，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，

顯然當x＞時，MN隨x的增大而增大，

∴當x=5時，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；

綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12．