Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，﹣1），圖象與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；

（3）點E為直線BC上的任意一點，過點E作x軸的垂線與拋物線交于點F，問是否存在點E使△DEF為直角三角形？若存在，求出點E坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）S△ACD=2；（3）存在滿足條件的點E，其坐標為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．

【解析】試題分析：（1）設頂點式y=a（x-2）2-1（a≠0），然后把C點坐標代入求出a即可；
（2）通過解方程x2-4x+3=0得A（1，0），B（3，0），再利用待定系數法求出直線BC解析式為y=-x+3，從而得到D（2，1），然后利用S△ACD=S△ABC-S△ABD進行計算即可；
（3）易得∠FED≠90°，則△DEF為直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，①當∠DFE=90°時F點縱坐標為1，解方程x2-4x+3=1得點E的橫坐標為2±，再利用點E在直線y=-x+3上可確定E點坐標；②當∠EDF=90°時，先確定直線AD解析式為y=x-1，則可判斷AD⊥BC，所以直線AD與拋物線的交點即為E點，解方程x2-4x+3=x-1得E點的橫坐標，然后利用直線BC的解析式確定E點坐標．

（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2﹣1（a≠0），

把C（0，3）代入可得a（0﹣2）2﹣1=3，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得x2﹣4x+3=0，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

設直線BC解析式為y=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

由（1）可知拋物線的對稱軸為x=2，此時y=﹣x+3=1，

∴D（2，1），

∴S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=×2×3﹣×2×1=2；

（3）由題意知EF∥y軸，則∠FED=∠OCB≠90°，

∴△DEF為直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，

①當∠DFE=90°時，即DF∥x軸，則D、F的縱坐標相同，

∴F點縱坐標為1，

∵點F在拋物線上，

∴x2﹣4x+3=1，解得x=2±，即點E的橫坐標為2±，

∵點E在直線y=﹣x+3上，

∴當x=2+時，y=﹣x+3=1﹣；

當x=2﹣時，y=﹣x+3=1+，

∴E點坐標為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）；

②當∠EDF=90°時，

∵A（1，0），D（2，1），

∴直線AD解析式為y=x﹣1，

∵直線BC解析式為y=﹣x+3，

∴AD⊥BC，

∴直線AD與拋物線的交點即為E點，

聯立直線AD與拋物線解析式有x2﹣4x+3=x﹣1，解得x=1或x=4，

當x=1時，y=﹣x+3=2；當x=4時，y=﹣x+3=﹣1，

∴E點坐標為（1，2）或（4，﹣1），

綜上所述，存在滿足條件的點E，其坐標為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．