Question

【題目】情境觀察：

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．

①寫出圖1中所有的全等三角形 ；

②線段AF與線段CE的數量關系是 ．

問題探究：

如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．

求證：AE=2CD．

拓展延伸：

如圖3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，點D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足為E，DE與BC交于點F．求證：DF=2CE．

要求：請你寫出輔助線的作法，并在圖3中畫出輔助線，不需要證明．

Answer 1

【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE．見解析

【解析】

試題分析：情境觀察：①由全等三角形的判定方法容易得出結果；

②由全等三角形的性質即可得出結論；

問題探究：延長AB、CD交于點G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對應邊相等CD=GD，即CG=2CD，證出∠BAE=∠BCG，由ASA證明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．

拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延長線于G，同上證明三角形全等，得出DF=CG即可．

情境觀察：

解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；

故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB

②線段AF與線段CE的數量關系是：AF=2CE；

故答案為：AF=2CE．

問題探究：

證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠GAD，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ADG=90°，

在△ADC和△ADG中，

，

∴△ADC≌△ADG（ASA），

∴CD=GD，即CG=2CD，

∵∠BAC=45°，AB=BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBG=90°，

∴∠G+∠BCG=90°，

∵∠G+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

，

∴△ADC≌△CBG中（ASA），

∴AE=CG=2CD．

拓展延伸：

解：作DG⊥BC交CE的延長線于G，

如圖3所示．