Question

【題目】在中，，點為底邊上一動點，將射線繞點逆時針旋轉后，與射線相交于點，且

如圖①，當點在底邊上，時，請直接寫出線段之間的數量關系；

如圖②，當點在底邊上，，且時，求證：

當，且時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或

【解析】

（1）在△ABC外取一點F，使AF=AD，CF=BD，連接EF，利用SSS證出△ABD≌△ACF，再證出△ADE≌△AEF，從而證出DE=EF，根據勾股定理和等量代換即可得出結論；

（2）在△ABC外取一點F，使AF=AD，CF=BD，連接EF，作FG⊥BC，交BC延長線于點G，利用SSS證出△ABD≌△ACF，再證出△ADE≌△AEF，從而證出DE=EF，再利用銳角三角函數和勾股定理即可證出結論；

（3）根據點E在線段BC上和BC的延長線上分類討論，分別畫出對應的圖形，根據（1）（2）的方法及原理求出CE、EF和CF的關系，從而求出結論．

（1），理由如下

在△ABC外取一點F，使AF=AD，CF=BD，連接EF，

∵AB=AC，∠B=∠ACB=45°

∴△ABD≌△ACF，

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=45°，

∴∠ECF=∠ACB＋∠ACF=90°

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

∵

∴

（2）證明：在△ABC外取一點F，使AF=AD，CF=BD，連接EF，作FG⊥BC，交BC延長線于點G，

∵AB=AC，∠B=∠ACB=60°

∴△ABD≌△ACF，

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=60°，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

又∵∠ECF=60°+60°=120°，

∴∠FCG=60°，

∴CG=FC60°=，，

∴在Rt△EFG中，，

∴．

（3）點E線段BC上時，如下圖所示，在△ABC外取一點F，使AF=AD，CF=BD，連接EF，

∴CF=BD=2CE

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴△ABD≌△ACF， ∠B=∠ACB=30°

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=30°，

∴∠ECF=∠ACB＋∠ACF=60°

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

過點F作FE′⊥BC于點E′

∴CE′=CF·cos∠ECF=2CE·=CE

∴點E′和點E重合

∴DE=EF=CE·tan∠ECF=

∵BD＋DE＋CE=BC=6

∴2CE＋＋CE=6

解得：CE=；

若點E在BC延長線上時，如下圖所示，在△ABC外取一點F，使AF=AD，CF=BD，連接EF，過點E作EG⊥FC交FC的延長線于G，設CE=x

∴CF=BD=2CE=2x

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴△ABD≌△ACF， ∠B=∠ACB=30°

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=30°，

∴∠ECG=∠FCB=∠ACB＋∠ACF=60°

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAC－∠BAD+∠CAE=∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD－∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF－∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

在Rt△ECG中，CG=CE·cos∠ECG =x，EG= CE·sin∠ECG =x

∴FG=CF＋CG=x

根據勾股定理：EF=

∴DE=EF=

∵BD＋DE－CE=BC=6

∴2x＋－x=6

解得：x=

即CE=

綜上：或．