Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與兩坐標軸分別交于點A、B、C，直線y＝﹣x+4經過點B，與y軸交點為D，M（3，﹣4）是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）已知點N在對稱軸上，且AN+DN的值最小．求點N的坐標．

（3）在（2）的條件下，若點E與點C關于對稱軸對稱，請你畫出△EMN并求它的面積．

（4）在（2）的條件下，在坐標平面內是否存在點P，使以A、B、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）N(3，)；（3）畫圖見解析，S△EMN＝；（4）存在，滿足條件的點P的坐標為（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．

【解析】

（1）先確定出點B坐標，最后用待定系數法即可得出結論；（2）先判斷出點N是直線BC與對稱軸的交點，即可得出結論；（3）先求出點E坐標，最后用三角形面積公式計算即可得出結論；（4）設出點P坐標，分三種情況利用用平行四邊形的兩條對角線互相平分和中點坐標公式求解即可得出結論．

解：（1）針對于直線y＝﹣x+4，

令y＝0，則0＝﹣x+4，

∴x＝5，

∴B（5，0），

∵M（3，﹣4）是拋物線的頂點，

∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2﹣4，

∵點B（5，0）在拋物線上，

∴a（5﹣3）2﹣4＝0，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x＝3，

∵點A，B關于拋物線對稱軸對稱，

∴直線y＝﹣x+4與對稱軸x＝3的交點就是滿足條件的點N，

∴當x＝3時，y＝﹣×3+4＝，

∴N（3，）；

（3）∵點C是拋物線y＝x2﹣6x+5與y軸的交點，

∴C（0，5），

∵點E與點C關于對稱軸x＝3對稱，

∴E（6，5），

由（2）知，N（3，），

∵M（3，﹣4），

∴MN＝﹣（﹣4）＝，

∴S△EMN＝MN|xE﹣xM|＝××3＝；

（4）設P（m，n），

∵A（1，0），B（5，0），N（3，），

當AB為對角線時，AB與NP互相平分，

∴（1+5）＝（3+m），（0+0）＝（+n），

∴m＝3，n＝﹣，

∴P（3，﹣）；

當BN為對角線時，（1+m）＝（（3+5），（0+n）＝（0+），

∴m＝7，n＝，

∴P（7，）；

當AN為對角線時，（1+3）＝（5+m），（0+）＝（0+n），

∴m＝﹣1，n＝，

∴P（﹣1，），

即：滿足條件的點P的坐標為（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．