Question

【題目】已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：
（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+ ，PA= ，則：

① 線段PB= ， PC= ；
② 猜想：PA2 ， PB2 ， PQ2三者之間的數量關系為；
（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；

（3）若動點P滿足 = ，求 的值．（提示：請利用備用圖進行探求）

Answer 1

【答案】
（1）,2,AP2+BP2=PQ2
（2）解：如圖②：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2．

（3）解：如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

①當點P位于點P1處時．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： = = DC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ ．

②當點P位于點P2處時．

∵ = ，

∴ ．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得： = = ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ ．

綜上所述， 的比值為 或 ．

【解析】（1）如圖①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+

∴AB= = = + ，

∵PA= ，

∴PB= ，

∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，

∴△APC≌△BQC．

∴BQ=AP= ，∠CBQ=∠A=45°．

∴△PBQ為直角三角形．

∴PQ= ．

∴PC= PQ=2．

所以答案是： ，2；

②如圖1．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2