Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線y=﹣x2﹣2mx（m＞1）與x軸的另一個交點為A．過點P（﹣1，m）作直線PD⊥x軸于點D，交拋物線于點B，BC∥x軸交拋物線于點C．

（1）當m=2時．

①求線段BC的長及直線AB所對應的函數關系式；

②若動點Q在直線AB上方的拋物線上運動，求點Q在何處時，△QAB的面積最大？

③若點F在坐標軸上，且PF=PC，請直接寫出符合條件的點F在坐標；

（2）當m＞1時，連接CA、CP，問m為何值時，CA⊥CP？

Answer 1

【答案】（1）①直線AB所對應的函數關系式為y=x+4；

②當a=-時，△QAB的面積最大，此時Q的坐標為（-，）；

③符合條件的點F坐標為F1（﹣2，0），F2（0，0），F3（0，4）；

（2）m=．

【解析】

試題分析：（1）①將m=2代入y=﹣x2﹣2mx，得出y=﹣x2﹣4x，求出A（﹣4，0），B（﹣1，3），由B、C兩點關于拋物線y=﹣x2﹣4x的對稱軸x=﹣2對稱，得出BC=2，運用待定系數法求出直線AB所對應的函數關系式；

②過點Q作QE∥y軸，交AB于點E，設Q（a，﹣a2﹣4a），則E（a，a+4），QE=（﹣a2﹣4a）﹣（a+4）=﹣a2﹣5a﹣4，由S△QAB=QEAD求出S△QAB=﹣（a+）2+，根據二次函數的性質即可求解；

③分兩種情況進行討論：若點F在x軸上，設F（x，0）．根據PF=PC列出方程，解方程得到F1（﹣2，0），F2（0，0）；若點F在y軸上，設F（0，y），根據PF=PC列出方程，解方程得到F3（0，4），F4（0，0）與F2（0，0）重合；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H．先求出PB=m﹣1，BC=2（m﹣1），CH=2m﹣1，AH=1，再證明△ACH∽△PCB，根據相似三角形對應邊成比例得出，即，解方程可求出m的值．

試題解析：（1）①當m=2時，y=﹣x2﹣4x，

令y=0，得﹣x2﹣4x=0，

解得x1=0，x2=﹣4，

則A（﹣4，0）．

當x=﹣1時，y=3，

則B（﹣1，3）．

∵拋物線y=﹣x2﹣4x的對稱軸為直線x=﹣2，

∴B、C兩點關于對稱軸x=﹣2對稱，

∴C（﹣3，3），BC=2．

設直線AB所對應的函數關系式為y=kx+b．

∵A（﹣4，0）、B（﹣1，3）在直線AB上，

∴，解得

∴直線AB所對應的函數關系式為y=x+4；

②過點Q作QE∥y軸，交AB于點E（如圖1）．

由題意可設Q（a，﹣a2﹣4a），則E（a，a+4），

∴QE=（﹣a2﹣4a）﹣（a+4）=﹣a2﹣5a﹣4．

∴S△QAB=QEAD=×（﹣a2﹣5a﹣4）×3=﹣（a+）2+，

∴當a=-時，△QAB的面積最，此時Q的坐標為（-，）；

③分兩種情況：

若點F在x軸上，設F（x，0）．

∵PF=PC，P（﹣1，2），C（﹣3，3），

∴（x+1）2+（2﹣0）2=（﹣3+1）2+（3﹣2）2，

整理，得x2+2x=0，

解得x1=﹣2，x2=0，

∴F1（﹣2，0），F2（0，0）；

若點F在y軸上，設F（0，y）．

∵PF=PC，P（﹣1，2），C（﹣3，3），

∴（0+1）2+（y﹣2）2=（﹣3+1）2+（3﹣2）2，

整理，得y2﹣4y=0，

解得y1=4，y2=0，

∴F3（0，4），F4（0，0）與F2（0，0）重合；

綜上所述，符合條件的點F坐標為F1（﹣2，0），F2（0，0），F3（0，4）；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖2）．∵P（﹣1，m），B（﹣1，2m﹣1），

∴PB=m﹣1．∵拋物線y=﹣x2﹣2mx的對稱軸為直線x=﹣m，其中m＞1，

∴B、C兩點關于對稱軸x=﹣m對稱，∴BC=2（m﹣1），

∴C（1﹣2m，2m﹣1），H（1﹣2m，0），∴CH=2m﹣1，∵A（﹣2m，0），∴AH=1．

由已知，得∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB．又∵∠AHC=∠PBC=90°，

∴△ACH∽△PCB，∴，即，∴m=．