Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）分別交x軸、y軸于A、B兩點．以OD為一邊在x軸上方作直角梯形ODEF，ED垂直于x軸，OD=8，ED=2，EF=4．設直角梯形ODEF與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）寫出直線OF對應的一次函數表達式，并求出直線AB與直線OF交點C的坐標；
（2）當b值由小到大變化時，求s用b表示的函數關系式；
（3）若在直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）上存在點Q，使∠OQD=90°，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據直角梯形，可得F點坐標，根據待定系數法，可得OF的解析式；根據解方程組，可得C點坐標；
（2）分類討論：①當AB與OF有交點時，即0＜b≤4時，根據三角形的面積公式，可得函數解析式；②當AB與EF有交點時，即4＜b≤6，根據面積的和差，可得函數解析式；③當b＞6時，根據梯形面積公式，可得答案；
（3）根據以圓的直徑為邊的三角形是直角三角形，可得直線AB與⊙C相切，根據點到直線的距離等于半徑，可得關于b的方程，根據解方程，可得b的值，根據b的值，可得b的取值范圍．

解答 解：（1）由在x軸上方作直角梯形ODEF，ED垂直于x軸，OD=8，ED=2，EF=4，得
A（8，0），E（8，2），F（4，2）．
設OF的解析式為y=kx，將F點坐標代入，得
4k=2．解得k=$\frac{1}{2}$，
OF的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
聯立OF與AB，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=b}\\{y=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
F點的坐標為（b，$\frac{b}{2}$）；
（2）①當AB與OF有交點時，即0＜b≤4時，如圖1，
當y=0時，-$\frac{1}{2}$x+b=0，解得x=2b，即A（2b，0），
重疊的面積為S_△OAC=$\frac{1}{2}$OA•y_C=$\frac{1}{2}$×2b×$\frac{b}{2}$=$\frac{{b}^{2}}{2}$；
②當AB與EF有交點時，即4＜b≤6，如圖2，
當y=2時，-$\frac{1}{2}$x+b=2，解得x=2b-4，即C（2b-4，2），
CE=8-（2b-4）=12-2b；
當x=8時，y=b-4，即G（8，b-4），
EG=2-（b-4）=6-b，
重疊部分的面積是S_{五邊形ODGCF}=S_梯形ODEF-S_△ECG
=$\frac{1}{2}$（4+8）×2-$\frac{1}{2}$•CE•GE
=12-$\frac{1}{2}$（12-2b）（6-b）
=-b²+12b-24，
③當b＞6時，S_梯形ODEF=$\frac{1}{2}$×（4+8）×2=12；
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{2}（0＜b≤4）}\\{-{b}^{2}+12b-24（4＜b≤6）}\\{12（b＞6）}\end{array}\right.$；
（3）如圖3，
圓心C（4，0），
AB與圓C相切時，C到直線AB的距離，得
$\frac{|4×\frac{1}{2}-b|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
解得b=2-2$\sqrt{5}$（不符合題意，舍），b=2+2$\sqrt{5}$，
當0＜b≤2+2$\sqrt{5}$時，在直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）上存在點Q，使∠OQD=90°．

點評 本題考查了一次函數綜合題，（1）利用了直角梯形的性質，待定系數法求函數解析式；（2）利用面積的和差是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏；（3）利用以圓的直徑為邊的三角形是直角三角形得出直線AB與⊙C相切是解題關鍵，又利用了點到直線的距離．