Question

【題目】如圖，拋物線的開口向下，與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0）．與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求頂點D的坐標．（用含a的代數式表示）；

（2）若△ACD的面積為3．

①求拋物線的解析式；

②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣1，﹣4a）；（2）①，②或

【解析】

試題分析：

（1）已知拋物線與x軸的兩交點的橫坐標分別是﹣3和1，設拋物線解析式的交點式，再配方為頂點式，可確定頂點坐標。

（2）①設AC與拋物線對稱軸的交點為E，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，求出點E的坐標，即可得到DE的長，然后由S△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式.

②先運用勾股定理的逆定理判斷出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函數求出tan∠DAC=.設拋物線向右平移后的拋物線解析式為，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F．根據正切函數的定義求出OF=1.分兩種情況進行討論：

（Ⅰ）如圖2①，F點的坐標為（0，1），（Ⅱ）如圖2②，F點的坐標為（0，﹣1）．

針對這兩種情況，都可以先求出點P的坐標，再得出m的值，進而求出平移后拋物線的解析式.　

試題解析：

解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），

∴拋物線解析式為，

∵，

∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4a）.

（2）①如圖1，設AC與拋物線對稱軸的交點為E，

∵拋物線與y軸交于點C，

∴C點坐標為（0，﹣3a）.

設直線AC的解析式為：，

則：，解得：.

∴直線AC的解析式為：.

∴點E的坐標為：（﹣1，﹣2a）.∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a.

∴.

∴﹣3a=3，解得a=﹣1.

∴拋物線的解析式為.

②∵，∴頂點D的坐標為（﹣1，4），C（0，3）.

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，

AC2=（0+3）2+（3﹣0）2=18.

∴AD2=CD2+AC2。∴∠ACD=90°.

∴.

∵∠PAB=∠DAC，∴tan∠PAB=tan∠DAC=.

如圖2，設向右平移后的拋物線解析式為，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F，

∵，

∴OF=1，則F點的坐標為（0，1）或（0，﹣1）.

分兩種情況：

（Ⅰ）如圖2①，當F點的坐標為（0，1）時，易求直線AF的解析式為，

由解得，，（舍去）.

∴P點坐標為（，）。

將P點坐標（，）代入，

得，解得，（舍去）.

∴平移后拋物線的解析式為.

（Ⅱ）如圖2②，當F點的坐標為（0，﹣1）時，易求直線AF的解析式為.

由，解得:，（舍去）.

∴P點坐標為（，）.

將P點坐標（，）代入，

得，解得，（舍去）.

∴平移后拋物線的解析式為.

綜上可知，平移后拋物線的解析式為或.