Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點P是AD上的一動點（與點D、點A不重合），DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與DC交于點F．

（1）求證：△DEF∽△CEB；

（2）當點P運動到DA的中點時，求證：點F為DC的中點.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：（1）由DE⊥CP，EF⊥BE，則∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，根據等角的余角相等得∠1=∠2，再根據正方形的性質得∠4+∠6=90°，而∠4+∠5=90°，則∠5=∠6，根據相似三角形的判定即可得到結論；

（2）根據正方形的性質得AD=DC=BC，而點P為DA的中點，則PD= AD=DC，再根據正切的定義得到tan∠4=，tan∠4=，則，然后根據△DEF∽△CEB得到，易得，即可得到結論．

試題解析：（1）∵DE⊥CP，EF⊥BE，

∴∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，

∴∠1=∠2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠4+∠6=∠DCB=90°，

而在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，

∴∠5=∠6，

∴△DEF∽△CEB；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC，

∵點P為DA的中點，

∴PD=AD=DC，

在Rt△PDC中，tan∠4=，

在Rt△DEC中，tan∠4=，

∴，

∵△DEF∽△CEB，

∴，

而CB=DC，

∴，

∴點F為DC的中點．